Considérons un triangle $AOB$, rectangle en $O$. Plaçons-le sur un système d'axes de telle sorte que le point $O$ soit en l'origine et le coté $OB$ sur l'axe des $x$:
En appliquant les formules établies à la page Distance parcourue, nous pouvons écrire que la position du point $A$ est donnée par les relations:
$\left \{
\begin{array}{ll}
x_A(t) = OA \times c(t) \\
y_A(t) = OA \times s(t)
\end{array}
\right.$
Dans ces formules, le paramètre $t$ est "caractéristique de la position angulaire du segment $OA$ par rapport à l'horizontale", avons-nous dit dans cette même page, c'est-à-dire de l'angle $\widehat {BOA}$.
Nous avons même considéré ce paramètre comme la mesure de cet angle en radians, puisque la longueur de l'arc $CA$ est donnée par :
$\overset{\frown}{CA} = t \times OA$
Or les quantités $x_a(t)$ et $y_a(t)$ sont égales respectivement aux cotés de l'angle droit $OB$ et $BA$. Donc:
$OB = OA \times c(t)$ , $AB = OA \times s(t)$ , d'où $c(t) = \large \frac {OB} {OA}$ et $s(t) = \large \frac {AB} {OA}$ .
Ces propriétés des fonctions $c(t)$ et $s(t)$ peuvent s'exprimer sous la forme des fameuses phrases:
- $c(t)$ est le rapport du coté adjacent à l’hypoténuse,
- $s(t)$ est le rapport du coté opposé à l'hypoténuse.
Ces fonctions sont enfin démasquées! Ce ne sont autres que les fonctions $\cos t$ et $\sin t$ pour qui ces propriétés sont des définitions.
