Essayons de démontrer que les fonctions $c(x)$ et $s(x)$ sont périodiques. Pour cela, nous allons commencer par rechercher le premier point d’annulation de $c(x)$, s’il existe.
La fonction $c(x)$ est paire et vaux 1 en 0. Au voisinage de l'axe des ordonnées, sa courbe représentative ressemble donc à une parabole dont l'axe de symétrie est l'axe des $y$.
Mais est-elle tournée vers le bas ou vers le haut? Sa dérivée seconde est $-c(x)$, qui est égale à -1 en 0, elle est donc tournée vers le bas:
Alure de la fonction $y=c(x)$ au voisinage de l'origine.
Il y a peut-être une racine vers $x=1$ ou $x=2$, avant que la courbe ne se relève éventuellement. Pour en avoir le cœur net, nous allons prouver que :
c(1) est strictement positif,
c(2) est strictement négatif.
Le développement polynomial de $c(x)$, pour $x$ positif, est une série alternée, et donc nous pouvons dire que :
le développement limité majore $c(x)$ si le dernier terme ajouté est positif,
il le minore s'il est négatif.
Il faut donc minorer $c(1)$ par un nombre positif, et majorer $c(2)$ par un nombre négatif.
Minorons $c(1)$ en utilisant le développement limité à l'ordre 2 :
$$c(x)=1 - \frac {x^2} 2 + x^2 O(x) \implies c(1) \geq \frac 1 2 \implies \boxed { c(1) > 0 }$$
Majorons maintenant $c(2)$ en utilisant le développement limité à l'ordre 4 :
$$c(x)=1 - \frac {x^2} 2 + \frac {x^4} {24} + x^4 O(x) \implies c(2) \leq \frac {-1} 3 \implies \boxed { c(2) < 0 }$$
En appliquant le théorème de la valeur intermédiaire, puisque $c(x)$ est continue, on en déduit qu'il existe une racine entre 1 et 2. Appelons p ce nombre:
$\boxed { \exists p \in [1,2] , c(p)=0 }$
En fait, ce nombre n'est autre que $\Large \frac \pi 2$, mais "nous ne le savons pas encore".
Valeur de s(p)
Mais combien vaut $s(p)$? La fonction $c(x)$ est nulle en $x=p$, donc il faut que $s(p)$ soit égale à $-1$ ou $+1$, afin que la somme des carrés fasse $1$.
D'autre part, la dérivée de $s(x)$ est $c(x)$. Or $c(x)$ est positive entre $0$ et $p$. Donc $s(x)$ est croissante entre $0$ et $p$. Donc il s'agit d'un maximum :
$\boxed { s(p)=1 }$
Périodicité
Appliquons maintenant la formule d'addition des arguments à $p$, et à un nombre réel $x$ quelconque :
$c(x+p)=c(x)c(p)-s(x)s(p) = -s(x)$
De même :
$s(x+p)=s(x)c(p)+c(x)s(p) = c(x)$
Ajoutons $2p$, on obtient :
$\left \{
\begin{array}{ll}
c(x+2p) = -c(x) \\
s(x+2p) = -s(x)
\end{array}
\right.$
Ajoutons $4p$, ou plutôt $4kp$, où $k$ est un entier relatif quelconque, on obtient :
$\left \{
\begin{array}{ll}
c(x+4kp) = c(x) \\
s(x+4kp) = s(x)
\end{array}
\right.$
Les fonctions $c(x)$ et $s(x)$ sont donc périodiques, de période $4p$ . C'est bien entendu aussi le cas de toute combinaison linéaire de ces deux fonctions, c'est-à-dire des solutions de l'équation différentielle (1).
Ainsi donc :
les solutions de l'équation différentielle (1) sont périodiques de période $4p$, où $p$ est le premier $0$ positif des solutions paires.
