Nous allons démontrer une propriété de ces deux solutions particulières de l’équation (1), que sont les fonctions $c(x)$ et $s(x)$.
Considérons la fonction :
$f(x)=c^2(x)+s^2(x)$ , la somme des carrés de $c(x)$ et de $s(x)$ .
Calculons sa dérivée :
$f'(x) = 2 c(x) c'(x) + 2 s(x) s'(x) = - 2 c(x) s(x) + 2 s(x) c(x) = 0$ .
On en déduit que cette fonction est constante. Pour calculer sa valeur, prenons une valeur particulière de x : x=0.
Nous en déduisons la relation ci-dessous, dans laquelle nous reconnaissons à nouveau une relation bien connue entre les fonctions sinus et cosinus :
$\boxed { \forall x \in \mathbf{R} , c^2(x) + s^2(x) = 1 }$
Trajectoire circulaire
Considérons un point mobile M(t) dans le plan, dont l’équation du mouvement est donnée par la relation :
$\left \{ \begin{array}{ll} x(t) = R c(t) \\ y(t) = R s(t) \end{array} \right.$ , où $x(t)$ et $y(t)$ sont les coordonnées du point $M$, et $R$ un nombre réel positif.
Calculons la distance du point M à l’origine :
$d(O,M) = \sqrt { (R c(t) )^2 + (R s(t) )^2 } = R \sqrt { c^2(t) + s^2(t) } = R$
Cette distance est constante (ne dépend pas de $t$), et donc le point $M(t)$ se déplace sur "l’ensemble des points situés à une même distance d’un point appelé centre", c’est-à-dire le cercle de centre $O$ et de rayon $R$.
De plus, ce mouvement est continu sur le cercle, et même dérivable, puisque les fonctions $c(t)$ et $s(t)$ le sont.
