Calculons la distance parcourue par le point $M(t)$ sur le cercle entre l’instant $t=0$ et l’instant courant $t$.
Le déplacement élémentaire effectué par le point $M$ entre les instants $t$ et $t+dt$ est donnée par le vecteur:
$\overrightarrow {dM} = \left \{ \begin{array}{ll} dx \\ dy \end{array} \right \}$ , que l'on peut calculer : $\left \{ \begin{array}{ll} dx = R c'(t) dt\\ dy = R s'(t) dt \end{array} \right.$
C'est-à-dire : $\left \{ \begin{array}{ll} dx = -R s(t) dt\\ dy = R c(t) dt \end{array} \right.$
La distance parcourue par le point $M$ pendant ce même intervalle de temps $dt$ sera donnée par le module de ce vecteur, que nous noterons $dM$ sans flèche:
$ \| \overrightarrow {dM} \| = dM = \sqrt { {dx}^2 + {dy}^2 } = R \sqrt { s^2(t) + c^2(t) } dt = R dt $
La distance parcourue par le point $M(t)$ entre l’instant $t=0$ et un certain instant courant $t_c$ sera l’intégrale de toutes ces distances élémentaires :
$D(O,M)=\int_0^{t_c} {dM}=\int_0^{t_c} {R dt} = R t_c$
Si on divise cette distance par la rayon du cercle $R$, on retrouve le paramètre $t$, qui ne dépend que de la position angulaire du segment $OM$ par rapport à l’axe des abscisses.
Ce sera en fait la mesure en radians de cet angle.
Nous sommes à deux doigts de démasquer les fonctions $c(x)$ et $s(x)$, qui semblent avoir toutes la propriétés, respectivement, des fonctions cosinus et sinus.
Mais, n’ayons l’air de rien, nous allons étudier la périodicité de ces fonctions sans utiliser les informations récemment découvertes dans la présente page.
