Considérons la fonction $c(x+a)$, où $a$ est une constante. Cette fonction est-elle solution de l’équation différentielle (1) ? Oui, bien sûr, et donc on devrait pouvoir l’écrire sous la forme d’une combinaison linéaire de $c(x)$ et de $s(x)$ :
$c(x+a) = \alpha c(x) + \beta s(x)$, où $\alpha$ et $\beta$ sont des nombres réels indépendants de $x$.
En revanche $\alpha$ et $\beta$ dépendent de $a$. Écrivons donc plutôt:
$\boxed { c(x+a) = \alpha(a) c(x) + \beta(a) s(x) }$ $(2)$
Écrivons la formule pour x=0 :
$c(a) = \alpha(a) c(0) + \beta(a) s(0)$ , et donc : $\boxed { \alpha(a) = c(a) }$
Reprenons maintenant l’expression $c(x+a) = c(a) c(x) + \beta(a) s(x)$ et dérivons-là par rapport à $x$ :
$-s(x+a) = - c(a) s(x) + \beta(a) c(x)$
Pour x=0, cela donne :
$\boxed { s(x+a) = - \beta(a) }$
L'expression $(2)$ peut maintenant s'écrire :
$c(x+a) = c(a) c(x) - s(a) s(x)$ $(2')$
Ou encore :
$\boxed { \forall a \in \mathbf{R} , \forall b \in \mathbf{R} , c(a+b) = c(a) c(b) - s(a) s(b) }$
… où nous reconnaissons la formule d’addition des arguments pour la fonction $\cos x$ .
Reprenons l’expression $(2’)$ et dérivons-la par rapport à $x$ :
$-s(x+a) = - c(a) s(x) - s(a) c(x)$
Ou, sous une forme plus générique :
$\boxed { \forall a \in \mathbf{R} , \forall b \in \mathbf{R} , s(a+b) = s(a) c(b) + c(a) s(b) }$
… où nous reconnaissons, cette fois-ci, la formule d’addition des arguments pour la fonction $\sin x$ .
Rappelons, toutefois, que les fonctions $c(x)$ et $s(x)$ voyagent encore incognito, et nous ne savons toujours pas le rapport que ces fonctions ont avec le triangle rectangle, l’hypoténuse, le coté opposé ou adjacent, la mesure de l’angle, etc. En tout cas, dans le cadre de cette présentation, nous ne sommes pas censés le savoir, pour l'instant :) .
