Rappel de la définition de la suite de Fibonacci :
$ \left\{ \begin{array}{ll} F_1=1\\ F_2=1\\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2} , \forall n \in \mathbf{N^*} \end{array} \right. $
Nous recherchons une expression condensée du développement suivant :
$ f(x) = F_1 + F_2 x + F_3 x^2 + ... + F_n x^{n-1} + ... $
$ = 1 + x + 2 x^2 + 3 x^3 + 5 x^4 + 8 x^5 + 13 x^6 + ... + F_n x^{n-1} + ... $
Transformons l'égalité de façon à ce que l'expression de droite commence par $ F_2 $ et que ses termes aient un degré de moins :
$ \Large { \frac {f(x)-F_1} x } $ $ = F_2 + F_3 x + F_4 x^2 + ... + F_n x^{n-2} + ... $
Additionnons les deux expressions :
$ f(x) + $ $ \Large { \frac {f(x)-F_1} x } $ $ = F_1 + F_2 + (F_2 + F_3) x + (F_3 + F_4) x^2 + ... + (F_{n-2} + F_{n-1}) x^{n-3} + ... $
Appliquons le relation de récurrence :
$ f(x) + $ $ \Large { \frac {f(x)-F_1} x } $ $ = F_3 + F_4 x + F_5 x^2 + ... + F_n x^{n-3} + ... $
Remplaçons le terme de droite par son expression en fonction de $ f(x) $ :
$ f(x) + \Large { \frac {f(x)-F_1} x } $ $ = \Large { \frac {f(x) - F_1 - F_2 x} {x^2} } $
Réduisons au même dénominateur :
$ x^2 f(x) + x \left( f(x)-F_1 \right) = f(x) - F_1 - F_2 x $
Passons $ f(x) $ à gauche :
$ f(x) ( x^2 + x -1 ) = (F_1 - F_2) x - F_1 $
Ce qui fait, pour $ f(x) $ :
$ f(x) = \Large { \frac {(F_1 - F_2) x - F_1} { x^2 + x -1 } } $
Dans le cas où $ F_1 $ et $ F_2 $ sont égaux à 1 :
$ \Large { \boxed { f_{_{fib}}(x) = \frac 1 { 1 -x -x^2 } } } $
On trouve quelques fois dans la littérature :
$ \boxed { f_{_{fib}}(x) = \frac x { 1 -x -x^2 } } $
Cela est dû au fait que l'on commence la suite de Fibonnacci à $ F_0 $ plutôt qu'à $ F_1 $. Cela ne modifie pas les valeurs suivantes de la suite car, en général, $ F_0 $ est nul. Mais cela augmente de 1 le degré des termes de la fonction génératrice, d'oû le $ x $ au lieu du $ 1 $ au numérateur.
