Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs entières. Elle va être définie par la suite des probabilités que $X$ prennent la valeur n, c'est-à-dire :
- la suite $p = \{ p_1 , p_2 , p_3 , ... , p_n \}$ , finie ou non, telle que $p_n = P ( X=n )$ .
La fonction génératrice de la suite $\{p_n\}$ sera définie par :
- $f(x) = p_0 + p_1 x + p_2 x^2 + p_3 x^3 + ... = \sum\limits_{k=0}^\infty { p_k x^k }$ .
Utilisation
Calculons $f(1)$. C’est la probabilité de la certitude, c’est-à-dire 1 , résultat trivial :
- $f(1) = p_0 + p_1 + p_2 + p_3 + ... = P(X \in \mathbf{N}) = 1$ .
Dérivons:
- $f'(x) = p_1 + 2 p_2 x + 3 p_3 x^2 + ... = \sum\limits_{k=0}^\infty { k p_k x^{k-1} }$ .
Pour $x=1$, nous obtenons l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ :
- $f'(1) = p_1 + 2 p_2 + 3 p_3 + ... = \sum\limits_{k=0}^\infty { k p_k } = E(X)$ ,
- $\boxed { E ( X ) = f'(1) }$
Calculons la dérivée seconde :
- $f''(x) = p_1 + 2 p_2 + 6 p_3 x + 12 p_3 x^2 ... = \sum\limits_{k=2}^\infty { k(k-1) p_k x^{k-2} }$ .
Avec $x=1$, nous obtenons l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X(X-1)$ :
- $f''(1) = \sum\limits_{k=2}^\infty { k(k-1) p_k = E (X(X-1))}$ .
En développant, on obtient la variance de la variable aléatoire $X$ :
- $\boxed { Var ( X ) = f''(1) + f'(1) - f'(1)^2 }$
On peut donc calculer l’espérance mathématique, la variance, ou plus généralement, les moments d’une variable aléatoire entière, à partir de sa fonction génératrice.
Les calculs sont souvent plus simples qu’en utilisant la loi $P(X=n)$ , à condition bien sûr de disposer d'une forme concise de la fonction génératrice $f(x)$, au lieu de sa forme développée.
On trouvera dans la littérature l’expression de la fonction génératrice dans le cas des lois de probabilité usuelles des variables aléatoires entières et positives.
