Prenons la fonction génératrice des nombres entiers :
$ \Large { \frac 1 {(1-x)^2} } $ $ = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + ... + nx^{n-1} + ... $
Multiplions par x :
$ \Large { \frac x {(1-x)^2} } $ $ = x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^3 + ... + nx^n + ... $
Si on ajoute les deux termes de droite, on obtient ce qu'on veut :
$ 1 + 3x + 5x^2 + 7x^3 + 9x^4 + ... + (2n+1)x^n + ... $
Ajoutons donc les deux termes de gauche :
$ \boxed { \frac {1+x} {(1-x)^2} = 1 + 3x + 5x^2 + 7x^3 + 9x^4 + ... + (2n+1)x^n + ...} $
