On retrouve le nombre d'or dans le pentagone, ainsi que dans l'étoile à cinq branches que l'on peut tracer à l'intérieur.
Nous allons calculer la longueur de la diagonale en fonction du coté, les autres mesures pourront être déduites des relations entre les segments et les angles.
Traçons le pentagone inscrit dans un cercle: figure ci-dessus. La diagonale sera par exemple le segment de droite DB. Appelons d la longueur que nous recherchons. Prenons comme unité de mesure le coté du pentagone, par exemple AB.
L'angle $\widehat {\textbf {AOB}}$ est égal à $\Large { \frac {2 \pi} 5 }$ , puisqu'il en faut 5 pour faire un tour complet. Or, il s'agit d'un "angle au centre", son sommet étant le centre du cercle.
L'angle $\widehat {\textbf {CDB}}$ est un "angle inscrit" qui intercepte également un arc de $\Large { \frac {2 \pi} 5 }$ . La valeur de cet angle est donc la moitié de l'angle au centre : $\Large { \frac \pi 5 }$ .
Traçons la hauteur CH du triangle BCD. Elle arrive sur la base BD en son milieu. La longueur du segment DH est donc $\Large { \frac {\textbf d} {\textbf 2} }$ .
On peut écrire que :
$$ \cos { \frac \pi 5 } = \frac {DH} {DC} = \frac d 2 $$
On trouvera dans la littérature que :
$$ \cos { \frac \pi 5 } = \frac {\sqrt 5 + 1} 4 $$
Et donc :
$$ \boxed { d = \frac {\sqrt 5 + 1} 2 = \phi } $$
