Les fonctions génératrices
Utilisation en probabilité
Les fonctions génératrices sont des instruments intéressants dans le cas des variables aléatoires à valeurs entières. Soit X une telle variable aléatoire. Elle va être définie par la suite des probabilités que X prennent la valeur n:
X est défini par la donnée de la suite $ \large p=\{p_1,p_2,p_3, ... , p_n\} $ , finie ou non, telle que $ \large p_n = P(X=n) $ , la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur n.
Définissons la fonction génératrice de la suite p :
$$ \large f( x ) = p_0 + p_1 x + p_2 x^2 + p_3 x^3 + ... = \sum_0^{ \infty } { p_n x^n } $$
Disons, dans ce cas, que la variable x varie dans l’intervalle réel [0,1], qui se trouve être aussi l’intervalle de variation des probabilités, mais cela ne veut pas dire que x « est une probabilité ».
Calculons f(1). C’est la probabilité de la certitude, c’est-à-dire 1 , résultat trivial :
$$ \large f( 1 ) = p_0 + p_1 + p_2 + p_3 + ... = P( X \in \mathbb N ) = 1 $$
Dérivons :
$$ \large f'( x ) = p_1 + 2 p_2 x + 3 p_3 x^2 + ... = \sum_0^{ \infty } { n p_n x^{n-1} } $$
Pour x=1, nous obtenons l'espérance mathématique de la fonction :
$$ \large f( 1 ) = p_1 + 2 p_2 + 3 p_3 + ... = \sum_0^{ \infty } { n p_n } = E(X) $$
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