Le nombre d'or
Le nombre d'or est égal à $ \large {\sqrt 5 + 1} \over 2 $, ce qui fait à peu près 1,618033989 . Il est en général représenté par le symbole $ \phi $ .
Définition
La définition la plus ancienne de ce nombre est basée sur une propriété des dimensions d'un rectangle. Il faut que ce rectangle, accolé à un carré dont le coté est égal à la longueur du rectangle, forme un nouveau rectangle dont le rapport longueur sur largeur soit le même que le rectangle de départ.
Cela peut se formuler de la façon suivante:
$ \large { {{L + l} \over L} = {L \over l} } $ |
Si on pose $ L = \phi l $ , cela donne:
$$ \phi = \frac { \phi + 1 } \phi $$
C'est-à-dire:
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$$ \phi^2 - \phi - 1 = 0 $$ |
Les deux solutions de cette équation sont de signe contraire, puisque leur produit est négatif. C'est la solution positive qui est égale au nombre d'or.
Propriétés : fraction continue
Voici quelques propriétés du nombre d'or, que nous allons plutôt amener que démontrer.
On peut, par exemple, écrire que:
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$$ \phi = 1 + \frac 1 \phi$$ |
Si, dans l'expression de droite, on remplace $ \phi $ par son expression, et si on renouvelle l'opération:
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$$ \phi = 1 + \frac 1 {1 + \frac 1 \phi}$$ |
$$ \implies $$ |
$$ \phi = 1 + \frac 1 {1 + \frac 1 {1 + \frac 1 \phi}}$$ |
$$ \implies ...$$ |
On démontre que le nombre d'or est égal à la fraction continue:
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$$ \phi = 1 + \frac 1 {1 + \frac 1 {1 + ...}}$$ |
Propriétés : radicaux
En reprenant l'équation initiale, on peut encore écrire:
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$$ \phi^2 = \phi + 1$$ |
$$ \implies $$ |
$$ \phi = \sqrt {1 + \phi} $$ |
Si, là encore, dans l'expression de droite, on remplace $ \phi $ par son expression, et si on renouvelle l'opération:
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$$ \phi = \sqrt {1 + \sqrt {1 +\phi}} $$ |
$$ \implies $$ |
$$ \phi = \sqrt {1 + \sqrt {1 + \sqrt {1 +\phi}}} $$ |
$$ \implies ...$$ |
On démontre que le nombre d'or est égal au radical continu:
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$$ \phi = \sqrt {1 + \sqrt {1 + \sqrt {1 + ...}}} $$ |